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    宇宙物理学では物理学の法則が使われます。

    数式(4則計算+α)を使って、定量的に1つ1つ検討していきます。

    トピ主として真面目に取り組もうと考えてますが、物ぐさと私的

    都合で御迷惑をかけることがあります。

    多分ゆっくりペースになるでしょう。



      --- 物理定数 ---

      G=6.67×10^-11 Nm^2/kg^2

      c=3.0×10^8 m/s

      e=1.6×10^-19 C

      h=6.6×10^-34 Js

      me=9.1×10^-31 kg   :電子質量

      mp=1.67×10^-27 kg  :陽子質量

      1atm=1.013×10^5 N/m^2

    kb=1.38×10^-23  J/K

      R=8.31  J/(mol・k)  :気体定数

    ε0=8.85×10^-12 F/m


      地球半径=6378 km

      地球質量=6×10^24 kg

      地球平均密度=5.5×10^3 kg/m^3=5.5 g/?^3


      太陽半径=6.96×10^5 km      (地球の約109倍)

      太陽質量=2.0×10^30 kg   (地球の約33万倍)

      太陽表面温度=5780 K

      太陽表面での重力加速度=274 m/s^2  (地球の約28倍)

      太陽平均密度=1.41×10^3 kg/m^3=1.41 g/?^3

      総放射量=3.85×10^26 J/s

      1日=86400 s

      1年=3.156×10^7 s (=365.25日)

      1天文単位=1.5×10^11 m (=1億5千万km、光で500秒)

      1光年=9.47×10^15 m

      1pc=3.26光年

      月の半径=1738 km      (地球の約27%)

      月の質量=7.38×10^22 kg (地球の約1.23%=1/80倍)
      恒星月=27.3日

      公転半径=38万km

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  • 840(最新)

    cqf***** 4月20日 12:26

    >>839

         ※ 最近99.6%がダークマターで残り0.4%
     が恒星や星間ガスの銀河が発見された。 

            -     -     -     -  

    以下銀河を公転している全恒星質量は全ダークマター質量に比べて 
    僅かなので無視することにしよう。

    1.「銀河中心を公転している恒星の速度は一定」との
      観測事実の物理的な意味とは?

     ・まずはニュートン物理で考えてみる。

      M(r)を銀河中心から半径rの球内に存在する質量と 
      すると、ρ(r)を質量密度分布として
                 r
            M(r)=∫ρ(r)×4πr^2・dr  --- (1)
                0
    となる。 M≡M(∞)は銀河の総質量である。
      両辺をrで微分すると

           M’(r)=4πr^2・ρ(r)  --- (1)’

      なる一般的な関係が得られる。

       質量mのある恒星が銀河中心から距離rの所を速さvでほぼ 
       円運動をしているものとすると

          m・v^2/r = GM(r)m/r^2
           遠心力     向心力

       より
           M(r) = v^2/G ・ r  --- (2)

       となる。 ここで恒星の速さvは一定である。
       これを(1)’に代入すると

          ρ(r) = (v^2/4πG)/r^2  --- (3)

       となって、ダークマターの質量分布はr^2に反比例、している 
       ということが解る。 

        さてここで落ち着いてみる。
       一般に質量M(r)の天体から距離r離れた場所での脱出速度uは
          mu^2/2 = GM(r)m/r 
       で与えられる。 
       これからM(r)=(u^2/2)rとなる。ここでu一定と見なして(1)’に 
       代入すると
           u^2/2 = 4πr^2・ρ(r) 

       ∴ ρ(r) = (u^2/4πG)/r^2  --- (3)’

       となる。

       これと(3)を比べると

    銀河の質量分布は各点での脱出速度が何故か一定値vになるように分布している」 

    と理解できる。 

    -続く-

  •        【ダークマターの超軽質量フェルミオンモデル】 


    結論 ・・・ 「ダークマターとは重力相互作用しかなく(従ってニュートリノ
            にあらず)電子質量の数千兆分の一の静止質量で、スピン1/2の 
            素粒子の集合」 

    理由   非常に質量が小さいため波動性をもち、ド・ブロイ波長は
            λ=h/mc    ただし m=m0/√(1-β^2)
         は太陽のような恒星の半径Rよりも大きくなって、太陽の
         重力で保持しておくことができない。つまり銀河中心の周囲
         を恒星に吸収されず広範に存在し続ける。さすがに銀河サイズ
         の天体の重力には束縛されたままだ。 弱い相互作用もないた
         め、反粒子は自分自身。 ビッグバンで大量に出現して、多数
         集積して自己重力で半径数千光年の球状に集まった軽質量の
         巨大天体を形成しているかも知れない。発光しないが重力レンズ
         効果だけで観測されるだろう。 銀河系はダークマター素粒子
         の巨大な自己重力凝集系と見なせるかも知れない。銀河系を原子 
         番号がとてつもなく大きい巨大な原子のように見立てる訳である。


    -続く-

  • 待ちに待った口径2.5mハッブル望遠鏡の後継機、口径6.5mの 
    ジェームズ・ウェッブ巨大宇宙望遠鏡。 

    今年中にでも打ち上げか。 調整は半年間位かな・・  

    分解能は6.5/2.5=2.6倍
    集光力は(6.5/2.5)^2=6.76倍
     
    https://wired.jp/2016/02/16/james-webb-telescope/#galleryimage_208045-760_23

  • >>835

    この天体の大きさは16km程度らしいので、半径が8kmの
    球体だとしてみる。 太陽のエネルギー放射率は3.9 x 10^26(J/s)

    単純にステファン・ボルツマンの法則を適用してみると 

      4π×(8×10^3 m)^2 ・ σT^4 = 4700×10^8 ・ 3.9 x 10^26(J/s)

    σ=5.67×10^(-8) なので

              T=1.4x 10^9 = 14億 K   

    が表面温度となる。 正直、表面温度的には大したことない。

  • 宇宙が膨張している、というのは空間そのものが膨張しているという意味
    ですよね。 では時間は膨張か収縮していないのでしょうかね?
     どなたか教えて下さい。
     
    何かいい曲な気がするけど・・
    https://www.youtube.com/watch?v=2_XtfaKGWsc

  • >>832

    >つまり排中律が成立しないのである。

    ここは注意を要する。
    排中律が成立しない、のは取り敢えずは自然現象界である。

    興味深いのは、数学が大前提にしているであろう論理学では排中律無し
    の論理学が成り立つのだろうか?  である。

    数学の証明で排中律が無かったら、背理法による証明は使えないことに
    なる。

    ↓によると量子論理は論理演算で分配法則が成り立たないということらしい。
    しかし難解だ。  

    https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%AB%96%E7%90%86

  • 2つの命題A,Bを以下に定義する。
    その前に粒子は広がりが無く波動は広がりがあるものだ。

     A:電子(素粒子)は粒子である
     B:電子(素粒子)は波動である

    量子力学によると
      一般にはAでもBでもある
    である。
    観測の仕方でAにもBにもなる。状態の収束。


    そこで
     A:宇宙は有限である
     B:宇宙は無限である
    としてみる。

    すると宇宙全体で量子力学が成り立っているとすれば
      「一般に宇宙は有限でもあり無限でもある」
    となる。

    一般に、AかA以外かのいずれか? 、の2律背反命題があるとする。
    量子力学的には「AでもありA以外でもある」となる。
    つまり排中律が成立しないのである。

  • 現時点での観測では宇宙は平坦のようだ。
    つまりユークリッド空間的らしい。
    無限大の大きさの宇宙が2.73Kの背景放射で満たされいる訳だから
    宇宙全体に存在する放射エネルギーの総計は無限大になるはずだ。
    有限でなくて無限大のエネルギー。

    これまでに知られている現実の物理量で無限大量は存在しない・・

  • >>829

    3)全宇宙内の全放射エネルギーが何故か減少している場合
      (この場合はエネルギー保存は敗れるが)


         38万年後  ・・・  宇宙半径=R0 

        138億年後  ・・・  宇宙半径=R

    とする。  R0<R だ。

    そこで
           宇宙の全放射エネルギーEは、宇宙
           半径Rに反比例して減少していく

        E=K/R  ---  (4)

    と仮定しよう!
    すると宇宙内の全放射エネルギー関係は

        aT^4 × consR^3 = K/R  ---  (5)

    となる。

    これから       T × R = 一定  ---  (5)'

    となってウィーンの変位則が再現される。

  • --- 膨張宇宙での温度変化 ---

    1)主流の説

      ビッグバン38万年後には約3000℃=3273[K]だったことが分かっている。そのときの宇宙空間の放射は黒体放射でプランク分布をしていて宇宙背景放射となっている。 それは138億年後の現在は2.73[K]のまで冷えたと考えている。

      ところで絶対温度T[K]の黒体放射のピーク強度での波長λには、ウィーンの変位則
    が有って、放射場の温度Tとは互いに反比例の関係にある。

        λ・T=b  --- (1)

        b:2.9×10^(-3) [Km]

    である。

       38万年後  ・・・  λ1・3273=b 

      138億年後  ・・・  λ2・2.73=b

    故に放射ピークでの波長はλ1からλ2になり

      λ2/λ1 = 3273/2.73 ≒ 1200倍 --- (2)

    に増大している。 波長が増大しているとは・・・?

    宇宙空間は晴れ上がり時より約1200倍膨張したことが分かる。
    つまり宇宙空間自身が膨張したと考えるのだ。

    2)全宇宙内の放射エネルギーが一定の場合

    黒体放射場のエネルギー密度は温度Tの4乗に比例して aT^4 である。  また閉じた宇宙全体の全体積Vは、宇宙半径Rとすると4/3πR^3と同様なconstR^3と表されるだろう。

    したがって宇宙全体のエネルギー保存則は

        aT^4 × V = 一定

    書き換えると

        T^4 × R^3 = const'・E0

    故に  T = const'・E0/R^(3/4) --- (3)

    となる。  つまり全放射エネルギー保存の場合は

     宇宙温度は宇宙半径Rの3/4乗に反比例する !

    と結論される。
    これは1)の主流派のRに反比例するとは異なる。
    ビッグバン後 1200^(3/4)≒204倍 の空間膨張だ。

    -続く-

  • --- 電束量子を求める ---

    有名な磁束量子φmとはプランク定数hを電気素量eの2倍で除したものである。

      φm = h/2e --- (1)

    である。 2は電子が対(クーパーペア)であるためだ。
    また一方磁束φmの定義は

     φm ≡ BS =μ0HS --- (2)

    である。 磁束の直感的意味は磁束線の本数のことだ。

      ※ 磁束の単位と磁荷の単位は共に[Wb]で同一
      ※ 電束の単位と電荷の単位は共に[C] で同一

    磁束が量子化される理由は、角運動量が量子化されることに起因している。
    磁束に量子があるというのならば、電束にも量子があっても不思議はない !

    では
       もし電束φeが量子化されることがあるとす
       ればどんな式で与えられるだろうか?

    まずは電束φeの定義は

      φe≡ DS = ε0ES --- (3)

    である。
    次にあれこれ思い巡らすと、磁場Hと電場Eが直接かつ密接に関係している場合とは、ズバリ電磁波の場合である。そこでは電場のエネルギー密度と磁場のエネルギー密度
    は常に等しいのであるから

      1/2・ε0 E^2=1/2・μ0 H^2

     ∴   √(ε0) E=√(μ0) H

    となっている。
    さらにこの式を電束密度D≡ε0 Eと磁束密度B≡μ0 Hを用いて表すと

       D /√(ε0) =B/√(μ0)

    となる。

    ここで非常に適切に電場のある所と磁場ある所に、共通の面積Sを
    選んで、それを両辺に掛けると

      D S/√(ε0) =BS/√(μ0)         

       φe/√(ε0) = φm/√(μ0)

    故に  φe = φm・√(ε0/μ0)

    =h/2e・√(ε0/μ0) --- (4)

          = 5.5×10^(-24) [C] --- (4)’

    これは電気素量eの0.00034倍である。

      h:6.62×10^(-34)   e:1.67×10^(-16)
       ε0:8.85×10^(-12)  μ0:1.26×10^(-6)

    と結論が得られた!

    【結論】負電荷である電子1個には1/0.00034=2940本の電束線が集まって
        いることが分かった。

  • 直径(半径かも)16kmサイズで、太陽の5700億倍明るい未知の天体があるようだ。
    超新星の明るさも精々太陽の100億倍で直径もぜんぜん大きい。

    http://indeep.jp/mystery-object-outshines-the-sun-by-570-billion-times/

  • >>800

    >「位相速度は非相対論と相対論とは連続的につながってない。
     ギャップがある。  何故?」

    わかった!
        E=hν
    のエネルギーEは全エネルギーEtではなくそれから静止エネルギーmc^2
    を引き去ったものだ。

        Etーmc^2=hν

    とすれば非相対論と相対論が滑らかに移行する。

  • >>823

       
        次にこの運動の途中から、静止観測者から見て
        突如2fで引き始めてみよう。ただし並走観測
    者はついていかずにそれまでの加速度aの走行
    を続けているものとする。

        その時並走者から見た物体に作用する広義の
        運動方程式は
    a' =φ(F'/m)
    である。

       広義の合力F'は F'=2f+(-f)=f を代入すると

             a' =φ(f/m)   --- (2)’

       となる。
       これと(2)と較べてみると、 a'=a だと分かる。
       これを静止観測者には加速度の加法性から、
       2aの加速度運動に見えるはず。

        つまり静止観測者から見て、突如力fを2倍の2f
        にしたら加速度aも2倍の2aになった(比例した)
    ことになる。 即ち

       2a=φ(2f/m)  --- (4)

        となる。
        (2)と(4)を比較してみると

          ⇒  a = φ(f/m) = k・f/m --- (5)

    と結論される。 kは比例定数である。


        今力の単位として、m=1kgの物体を引いたら
        a=1m/s2の加速度を生じさせる張力をF=1N
    と定義するとk=1にできる。

        一般座標系にいる観測者から見て、加速度を
        生じさせる力全てを広義の力とすると、広義の
        慣性の法則が論理的に導かれる。また慣性系
        の存在を仮定することから、慣性力の存在と運
        動方程式の形が一意的に導かれることは興味
        深い。

        追記
        結果論的に言えば、結局並走者と並走する瞬
        間共動慣性系(瞬間共動系)を設定して、そこ
        で静止慣性系の物理法則を記述すればよさそ
        うだ・・

  • >>822

       はよく考察すると、全て同一の加速度aとなる。

       ψ(f,m)=ψ(2f,2m)=ψ(3f,3m)=・・・=a

       つまりψ(f,m)はf/mの関数である!

       a=ψ(f,m)=φ(f/m) となる。

       これをさらにfからFに書き換えて一般化すると

          ⇒  a=ψ(F,m)=φ(F/m)  --- (1)

    となる。

      物体の加速度は単位質量あたりの合力で決まる!


    2) φ(ξ) =kξの証明

        次にある慣性系の原点に物体1個を置き、f
        で引き続ける。 慣性系観測者から見るとは
        物体は加速度aで加速して行くから(1)は

         a=φ(f/m)   --- (2)

        が運動方程式となる。

       このときその物体のすぐ横を別の観測者が並走
       する。この並走観測者には物体はずっと静止して
       見えるから当然物体の加速度はa'=0である。
       すると定理1から物体の合力F'=0となる。

        ところがこの並走者からみて、物体に作用して
        いる力がもしも張力fだけだとしたら、広義合力
        はF'=f となり0にはならない。ということは未
        知の力Xが出現して物体に作用した結果合力
        F'が0となったと考えねばならない。 つまり

         F'=f+X=0  →  ∴ X=-f  --- (3)

          ※ Xの具体形は(2)より X=ーm・φ^(-1)(a)
            となる。もし並走者がaと異なる加速度α
            で走行していた場合のXは
            X=ーm・φ^(-1)(α)となる。

        つまり加速度aの並走者からすると、物体には
        張力fとは逆向きの未知の力(慣性力という)-f
        が作用した結果、合力F'が0になった。だから
        加速度が0になっている、と解釈される。
        式で言えば
               0=φ(0/m)   --- (2)'

    が並走者から見た運動方程式(広義の慣性の
        法則)となる。
    -続く-

  • 運動方程式 ma=F の証明(改訂版)

    任意の1次元座標系での定義と仮定】

      1) 【広義の力の定義】
        物体に加速度を生じさせる原因を全て力という。
        慣性力も力である。また複数の力は加算ができ
        て合力となる。

      2) 【広義の運動方程式の仮定
     広義の全合力Fは,質量mの物体に
          a=ψ(F,m)
        の加速度を生じさせる。

        Fは広義の力なのでその中には座標系に依存
        する慣性力なども含まれていてもよい。物体の
        加速度の原因は全て広義の力とする。

     3) 【慣性系の定義と存在の仮定】
        全ての広義力が作用していない特別の座標系
        を慣性系という。この宇宙に慣性系の存在を仮
        定する。
                (以下の証明はcqfのオリジナル)     

    定理1 広義の慣性の法則 ψ(0,m)=0 が成り立つ

         物体に作用する広義の合力Fが0ならば、物
         体の加速度aは0である。 (等速度運動にな
         る) 逆も成り立つ。何故ならば加速度を生ず
         る原因はすべて広義の力と定義したからだ。

       証明) 上の1) の広義の力の定義より合力F=0
           ならば加速度が生じない、a=0 (等速度
           運動である)

            ※ 広義の力というものを1)のように定
              義しておくと、慣性の法則は自動的
              に満たされてしまうことに留意する。


    ある慣性系がある。
    そこには同一な質量mの立方体の物体が数個と質
    量が無視できる同一のゴム糸が数本ある。伸びが
    一定のとき、その張力fも一定であるものと仮定する。

    原点に1個の物体があり、その合力と初速度はともにゼロである。即ち慣性系の原点に物体が静止している
    ことに注意する。 それをゴム糸の張力fで引きながら
    加速していく。 そのときの加速度をaとする。

    φ(ξ)を滑らかなξの未知の増加関数とする。

    1) a=ψ(F,m)=φ(F/m) の証明
       次に
       2個の物体を並置して2fで引き続けるときと
       3個の物体を並置して3fで引き続けるときと

              ・  ・  ・  ・

     -続く-

  • >>820

    3)パルサーの電波放射による自転の減衰

      パルサーの慣性モーメントを I とする。
      またその自転周期をωとする。

      単位時間におけるエネルギー保存則より

    d/dt ・{ (1/2)Iω^2 }
    =-(ε0/12πc)・(Mm)^2・ω^2

      となる。   これはさらに

       I・dω/dt = - (ε0/6πc)・(Mm)^2・ω

      となる。   ここで減衰率kを

        k=(ε0/6πc)・(Mm)^2/I  --- (8)

      とおくと

        ∴   dω/dt = - k・ω  --- (9)

      となる。  これより

           ω=const・exp(-kt) 

    さらに初期条件  ω0=ω(0)  を入れると

        ω = ω(t) = ω0・exp(-kt)  --- (10)

      となって指数関数的に減衰することが分かった !!

      減衰が半分になる半減期Tは

        1/2=ω(t+T)/ω(t)

           = exp{-k(t+T)} / exp(-kt)

           = exp{-kT}

       より
            
       T = (Log 2)/k

        = (Log 2)・6πcI/ {ε0(Mm)^2} --- (11)

    となる。

    -次回は数値を入れてみる-

  •  パルサーとは磁気双極子を持った自転中性子星である。回転する電荷は電磁波を放出するように、回転する磁荷も電磁波を放出する。それ故パルサーは自転エネルギーを電磁波放射で失っていき徐々に自転が減衰していく。
     以下でその減衰率を計算する。

    1)加速度する磁気の放射率

     ラーマーの公式によると、電荷Qが光速度cに比べ
     て大きくない速度で、かつ加速度aで運動している
     ときの電磁波の電荷から放射率Pは

       P = (μ0/6πc)・Q^2・a^2  --- (1)

     である。

     では次に磁荷Qmが加速度aで運動しているときの
    電磁波の放射率Pmを求めよう。

     電荷±Qと磁荷±Qm に関するクーロンの法則は

      F=(1/4πε0)・Q^2/r^2  --- (2)

      Fm=(1/4πμ0)・Qm^2/r^2 --- (3)

     である。

     ここで2荷間の距離rは同一だとして、電気力Fと
    磁気力Fmを等値してみると

     (1/4πε0)・Q^2/r^2=(1/4πμ0)・Qm^2/r^2    

       Q^2/ε0=Qm^2/μ0
    ∴   Q=√(ε0/μ0)・Qm --- (4)

     となる。

     これをラーマーの公式(1)に代入しPをPmに置換すると

       Pm =(μ0/6πc)・(ε0/μ0)Qm^2・a^2

     光速度c=1/√(ε0μ0) なので

      Pm=(ε0/6πc)・Qm^2・a^2 --- (5)

     となる。
     (1)式と比較するとμ0をε0で置換した形だ。

    2)回転棒磁石からの放射率

      ±Qm:棒磁石の磁荷
       2L:棒磁石の長さ
        ω:回転角速度

     棒磁石の回転面の中心に回転軸がある。
     棒の両端にあって等速円運動している磁荷の加速度aは

       a=Lω^2 --- (6)

     であるから、(5)式に代入すると

      Pm=(ε0/6πc)・(LQm)^2・ω^2 

    ここで Mm=2LQm:磁気双極子モーメントなので

      Pm=(ε0/24πc)・(Mm)^2・ω^2

     となる。
     しかし棒磁石の磁極は±の2つあるので、上記を2倍して

      ∴ Pm=(ε0/12πc)・(Mm)^2・ω^2 --- (7)

     となる。

    -- 続く --

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