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  • 3以上の素数において、相隣合う素数間の差を取った時、その差が2である素数を双子素数(=2差素数)という。
    例 3と5(5-3=2)
      5と7(7-5=2)
      11と13(13-11=2)
    ・・・・・・・・・・・・・・・・・・
      29と31(31-29=2)
    ・・・・・・・・・・・・・・・・・・
    ところで、
    「 このような組の素数が無限に存在するだろうか。 」
    というのが双子素数=2差素数の問題である。未解決問題。
    双子素数は無限に存在するという主張
    主張開始。
    仮定
    「今、双子素数が有限でその最大の組の素数をX1とX2(X1>X2)とする。
    2=X1-X2」
    ∴この両辺に2を順次加算して行くこととする。
    4=(X1+2)-X2
    6=(X1+4)-X2
    8=(X1+6)-X2
    10=(X1+8)-X2
    ・・・・・・・・・・
    2n=(X1+2n-2)-X2
    ・・・・・・・・・・・・・
    ところで、これらの式の右辺の項を考察した時、X1-X2=2が最大の組であるから、括弧内の項が常に合成奇数でなければならない。
    しかし、他方、素数X1に順次2を加算して行って出来た奇数が全て合成奇数とすると、明らかに、X1から先には素数が存在しないことおも意味していることとなる。素数が無限に存在するという、事実に反する。
    これは、明らかな矛盾である。
    この矛盾は最初の仮定が誤りであったために生じたものである。
    ∴括弧内の項が常に合成奇数であると矛盾が生じるのだ。
    ∴双子素数の最大の組は有限ではないのだ。
    ∴双子素数の最大の組は無限に存在するのだ。
    ∴双子素数は無限に存在する。
             以上主張終了

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  • 114(最新)

    mnk***** 8月16日 16:30

    No 107 から 113 までの 7ページ分での提言です。
    ご意見をお願いします。

  • 7ページ目

    ・(43、47) の4差素数の例
      43(43+4)-2=k
      (43+2)^2-4-2=45^2-6=2019=3*673
    ・(23,29) の6差素数の例
      23(23+6)-4=k
    (23+5)(23+1)-5-4=28*24-9=663=3*221
    ・(139,149)の10差素数の例
    139(139+10)-2=k
    (139+9)(139+1)-9-2=148*140-11=20709=3*6903=k

    第三章  全ての偶数差素数が無限に存在することの証明
     (証明開始)
     3の倍数は無限に存在する。
     3の倍数の次の奇数もその次の奇数も無限に存在する。
     ∴ 主張から、3の倍数の次の奇数又はその次の奇数が全
      ての偶数差素数の組の積となることがあり、このことは無
      限に主張出来る。
      以上のことは、全ての偶数差素数の積から成る数が無限
     に存在しても、なんら矛盾が生じないことを保証するもの
     である。
     ∴全ての偶数差素数は無限に存在する。(証明終了)
    (証明終了)
    第四章  素数が無限に存在することの証明
     (証明開始)
     全ての素数は、全ての偶数差素数の組のいずれかに分類出来る。
     そして、全ての偶数差素数は無限に存在する。
     このことは、素数が無限に存在することをも物語っている。
    ∴ 素数は無限に存在する。
      (証明終了)

  • 6ページ目

     (3) a(a+2n)-2=k  のケース
       a^2+2an-2=(a+2n-1)(a+1)-(2n-1)-2=k
      (a+2n-1)(a+1)-2n-1=k →(a+2n-1)(a+1)=k+2n+1
      ここで、左辺は合成数である。
      ∴ 右辺も必ず合成数でなければならない。
    ∴ 2n+1=3d の時 
    右辺=k+3d となり、  k が3の倍数となることが、
      右辺が合成数となるための必要条件となる。
        また、 2n+1 が3の倍数の時、 k が3の倍数であ
       れば、右辺が合成数となる条件として、十分である。
     (4) a(a+2n)-4=k  のケース
      a^2+2an-4=(a+2n-1)(a+1)-(2n-1)-4=k
       (a+2n-1)(a+1)-2n-3=k →(a+2n-1)(a+1)=k+2n+3
      ここで、左辺は合成数である。
     ∴ 右辺も必ず合成数でなければならない。
    ∴ 2n+3=3d の時 
    右辺=k+3d となり、  k が3の倍数となることが、
      右辺が合成数となるための必要条件となる。
        また、 2n+3 が3の倍数の時、 k が3の倍数であ
       れば、右辺が合成数となる条件として、十分である。
     以上の四つのケースから、右辺が常に合成数となるための必要十分
    条件は k の値が 3 の倍数となることである。
    (証明終了)
    計算例
    ・(29、31) の2差素数の例
      29(29+2)-2=k
      (29+1)^2-1-2=900-3=897=3*299
    ・(211、223) の12差素数の例
    211(211+12)-4=k
    (211+6)^2-6^2-4=k
    (211+6)^2-6^2-2^2=k
    (211+6+2)(211+6-2)-36=k
    219*215-36=47049=3*15683

  • 5ページ目 

     ・ 3s の形の時  n^2=(3s)^2=9s^2
        2n+3=2(3s)+3=6s+3=3(2s+1)
      ・ 3s+1 の形の時
        2n+1=2(3s+1)+1=6s+2+1=3(2s+1)
      ・ 3s+2 の形の時 
       n^2+2=(3s+2)^2+2=9s^2+12s+4+2=3(3s^2+4s+2)
      となり、どの形でも3の倍数となる。
     以上の考察から
      下記の四つのケースの 3d の内の一つ又は二つの 3d が
     必ず 3 の倍数となり、結果として k が 3 の倍数となる。
    結論として、上記の主張内容の通りとなる。
      (四つのケースの考察)
      n を自然数として、5 以上の2n差素数の組を
    ( a , a + 2n ) とする。
     (1) a(a+2n)-2=k  のケース
      (a+n)^2-n^2-2=k
      (a+n)^2=k+2+n^2
      ここで、左辺は合成数である。
     ∴ 右辺も必ず合成数でなければならない。
    ∴ 2+n^2=3d の時 
    右辺=k+3d となり、  k が3の倍数となることが、
      右辺が合成数となるための必要条件となる。
        また、 2+n^2 が3の倍数の時、 k が3の倍数であ
       れば、右辺が合成数となる条件として、十分である。
     (2) a(a+2n)-4=k  のケース
      (a+n)^2-n^2-4=k
      (a+n)^2-2^2=k+n^2
      (a+n+2)(a+n-2)=k+n^2
      ここで、左辺は合成数である。
     ∴ 右辺も必ず合成数でなければならない。
    ∴ n^2=3d の時 
    右辺=k+3d となり、  k が3の倍数となることが、
      右辺が合成数となるための必要条件となる。
        また、 n^2 が3の倍数の時、 k が3の倍数であ
       れば、右辺が合成数となる条件として、十分である。

  • 4ページ目

      再考の結果、b=3 の倍数となるケースが三例発見出来る。
     (5) 2差素数の場合
      a(a+2)-2-b=0 の例
      a^2+2a-2-b=0 となるから、1例しかない。
      (a+1)^2-1-2-b=0
    ∴(a+1)^2=b+3 → b=3 の倍数
     ∴ 右辺も合成数となるための必要条件は
       b が 3 の倍数となることである。
    また、 b が3の倍数であれば、右辺が合成数となるのに
      十分と言える。
     ∴ 右辺が合成数となる必要十分条件は b が3の倍数
        となることである。
     (6) 4差素数の場合
      a(a+4)-2-b=0 の例
      a^2+4a-2-b=0 となるから、 2例ある。
      ・ (a+2)^2-4-2-b=0
      ∴(a+2)^2=b+6 → b=3 の倍数
      ∴ 右辺が合成数となるための必要十分条件は 
         b が 3 の倍数となることであり、これが b の
        性質である。
      ・ (a+3)(a+1)-3-2-b=0
      ∴(a+3)(a+1)=b+5 → b=5 の倍数
    この場合は採用出来ない。 (以上)

    第二章 偶数差素数に関する主張
    (主張内容)
    5以上の2n差素数の組同士の積から成る数の一つ手前の
    奇数又は二つ手前の奇数は必ず3の倍数となる。
    (主張の根拠)
    (証明開始)
     n を正の整数とした時、全ての正の整数は
     3s、 3s+1、 3s+2、 の三つの形に分類出来る。
    ・s=0 の時 3s=0、 3s+1=1、 3s+2=2、
    ・s=1 の時 3s=3、 3s+1=4、 3s+2=5、・・・
    そして、 n^2, n^2+2, 2n+1, 及び 2n+3、 は全て
     この三つの形の何れかの形を代入すると、3の倍数となる。

  • 3ページ目

       x^2+2ax-4-b=0 の形の方程式で検討するのである。
    (4) 12差素数の例
      a(a+12)-2-b=0 の別解例
      a^2+12a-2-b=0
    ・ (a+6)^2-6^2-2-b=0
    (a+6)^2=36+2+b → b=38 の倍数
    ・ (a+7)(a+5)-35-2-b=0
    (a+7)(a+5)=37+b → b=37 の倍数
    ・ (a+8)(a+4)-32-2-b=0
    (a+8)(a+4)=34+b → b=34  の倍数
    ・ (a+9)(a+3)-27-2-b=0
    (a+9)(a+3)=29+b → b=29 の倍数
    ・ (a+10)(a+2)-20-2-b=0
    (a+10)(a+2)=22+b → b=22 の倍数
    ・ (a+11)(a+1)-11-2-b=0
    (a+11)(a+1)=13+b → b=13 の倍数
    以上の例では、一つも b=3の倍数 となっていない。
      このような場合、
      a(a+12)-4-b=0 として、再度考察する。
      a^2+12a-4-b=0
    ・ (a+6)^2-6^2-4-b=0
    (a+6)^2=36+4+b → b=40 の倍数
    ・ (a+7)(a+5)-35-4-b=0
    (a+7)(a+5)=39+b → b=3 の倍数
    ・ (a+8)(a+4)-32-4-b=0
    (a+8)(a+4)=36+b → b=3  の倍数
    ・ (a+9)(a+3)-27-4-b=0
    (a+9)(a+3)=31+b → b=31 の倍数
    ・ (a+10)(a+2)-20-2-b=0
    (a+10)(a+2)=22+b → b=22 の倍数
    ・ (a+11)(a+1)-11-4-b=0
    (a+11)(a+1)=15+b → b=3 の倍数

  •  2ページ目

     ∴ 右辺も合成数でなければならない。
       つまり、 a^2+b+2 が合成数でなければならない。
      ∴ b=k(a^2+2) となることが必要条件となり、この時
        右辺=(a^2+2)(k+1)  と合成数となる。
    また、b が (a^2+2) の倍数であれば、右辺が合成数
       となるのには十分な条件である。
      ∴ 右辺が合成数となるための必要十分条件は 
         b が (a^2+2) の倍数となることであり、これが b の
        性質である。
      ここで、 b=k(a^2+2) において
       ・a=1 の時 2a=2 となるから
         2差素数の時 → b=(k+1)(1^2+2)=3(k+1) b は3の倍数
       ・a=2 の時 2a=4 となるから
         4差素数の時 → b=(k+1)(2^2+2)=6(k+1) b は3の倍数
       ・a=3 の時  2a=6 となるから
         6差素数の時 → b=(k+1)(3^2+2)=11(k+1)
       a=3 の時、b は3の倍数とならない。
       しかしここで諦めないで、さらに次の方程式での考察を試みる。
     (3) x^2+2ax-4-b=0 の形の方程式は
       (x+2a-1)(x+1)-(2a-1)-4-b=0
       (x+2a-1)(x+1)=2a+3+b
       ここで、左辺は合成数
       ∴右辺も合成数でなければならない。
         ところで、 
         2a+3+b=合成数となるためには、
         b=k(2a+3) となることが必要条件である。
         k=1 として、
        ・a=3 の時(6差素数の時)  → b=(2*3+3)=9  : 3の倍数
       以上の考察から分かる通り
       x^2+2ax-2-b=0 の方程式で b= 3の倍数 とならなかった時は

  • 1ページ目
    偶数差素数が無限に存在することに関する提言

    第一章 二次方程式の解法に関する考察
      x^2+2ax-2-b=0 の形の方程式の
      一般的な解法として
      (x+a)^2-a^2=b+2 とした場合
      (x+a)^2=a^2+b+2
      ∴x+a=±√(a^2+b+2)
      ∴ x= -a±√(a^2+b+2)   となる。
      これが、根の公式に基づく解法である。
       ところで、二次方程式を合成数という観点から考察すると、
      今までと全く違った角度からの事実が得られる。
     (1)  x^2+2ax-4-b=0 という式の意味
       ・ x^2+2ax の意味
        x^2+2ax=x(x+2a) となり、
        x(x+2a)  は、x を素数、x+2a を素数とした時の
        2a差素数の組の素数同士の積を表す。
       ・ x^2+2ax-4 の意味
        x^2+2ax-4 は、x^2+2x が奇数であるから、
        x^2+2x の二つ手前の奇数を意味する。
        そして、  x^2+2ax-4=b  となるから この b の意味は
        2a差素数の積の二つ手前の奇数が b であるということである。
       さらに、この b の性質が 3 の倍数となった時、この時は
          x^2+2ax-4=b  となるから 
       2a差素数の組同士の素数の積の二つ手前の奇数が 
       3 の倍数である、ということを意味している。
        x^2+2ax-2=b であれば、
       2a差素数の組同士の素数の積の一つ手前の奇数は 
       3 の倍数である、ということを意味している。
       以上、二次方程式の解法について、合成数という観点
     からの考察が意義を持つこととなる。
     (2) x^2+2ax-2-b=0 の形の方程式は
    (x+a)^2-a^2-2-b=0 とした場合
      (x+a)^2=a^2+b+2
      ここで、左辺は合成数である。


  • 双子素数が無限に存在することが正しいとする別主張

    ・双子素数に関する主張
    主張
    5以上の双子素数の組同士の積から成る数の一つ手前の
    奇数は、必ず3の倍数となる。

    主張の根拠
     5以上の双子素数の組を ( a , a + 2 ) とする。
     今、 a(a+2)-2=k とすると、
      (a+1)^2-3=k
      (a+1)^2=k+3
     ここで、左辺は常に合成数となる。
     ∴ 右辺の k+3 も常に合成数でなければならない。
      ところで、この k+3 が合成数となるための必要条件は、 
     k が 3 の倍数となることである。
      また、 k が 3 の倍数であれば、右辺が合成数となる
     ために十分である。
     つまり、右辺が常に合成数となるための必要十分条件は
      k の値が 3 の倍数となることである。
    (終了)
    ・ 双子素数が無限に存在することの証明
     (開始)
     (1) 3の倍数は無限に存在する。
    (2) 3の倍数の次の奇数も無限に存在する。
    (3) 双子素数の組の積の一つ手前の奇数は、常に3の倍数となる。
      ∴ 3の倍数の次の奇数が双子素数の積となる可能性が
       無限にある。
     ∴双子素数も無限に存在する可能性がある。
     ∴双子素数は無限に存在する。
      (終了)
    (計算例)  
       双子素数の組
    a a+2 a(a+2) k=a(a+2)-2 kの因数分解
    5 7 35 33 3×11
    11 13 143 141 3×47
    17 19 323 321 3×107
    29 31 899 897 3×13×23


  • (第二部)
      k1 から先が常に三つ以上の素数の積となれば
     双子素数の存在する余地がないからである。
       しかし、an*bn が三つ以上の素数の積だけ、と
     成って行く時の n=k1 が発見されない。
     n の値を無限大に向かって大きくして行っても n=k1
    となる k1 が発見出来ないのである。
       その答えは(2)のパターンにあるからだろう。
     そこで、(2)のパターンで
    ・ cn*dn=(10k2+7)(10k2+9)≠c3*c4  の時,
     つまり、cn*dn が三つ以上の素数の積だけ、と
     成って行く時の n=k2 があれば、双子素数が
     有限である、ということとなる。
      k2 から先が常に三つ以上の素数の積となれば
     双子素数の存在する余地がないからである。
       しかし、cn*dn が三つ以上の素数の積だけ、と
     成って行く時の n=k2 が発見されない。
     n の値を無限大に向かって大きくして行っても n=k2
    となる k2 が発見出来ないのである。
       その答えは(3)のパターンにあるからだろう。
     そこで、(3)のパターンで
    ・ en*fn=(10k3+19)(10k3+21)≠c5*c6 の時,
     つまり、en*fn が三つ以上の素数の積だけ、と
     成って行く時の n=k3 があれば、双子素数が
     有限である、ということとなる。
      k3 から先が常に三つ以上の素数の積となれば
     双子素数の存在する余地がないからである。
       しかし、en*fn が三つ以上の素数の積だけ、と
     成って行く時の n=k3 が発見されない。
     n の値を無限大に向かって大きくして行っても n=k3
    となる k3 が発見出来ないのである。
    以上の考察から、三つ全てのパターンで発見
    出来なかった。
     このことは、次のいずれかを意味している。
    第一   k1,k2,k3, は有限ではない。無限である。
    第二   k1,k2,k3 は存在する。計算が足りないだけだ。
         k1,k2,k3,を求める計算を更に無限に続けるべきである。
     ところで、第一が正しいとしても、第二が正しいとしても、
     k1,k2,k3, は無限の存在であるということである。
    ∴双子素数は無限に存在する。
                     ( 主張終了。)

  • 再三訂正ですみません。
    この No104とNo105 が最新です。
    「…新主張 」というタイトルは却下いたします。

    双子素数が無限に存在することの新角度からの主張
    (第一部)~主張開始。
     10より大きい双子素数を並べると、次の3パターンとなる。
    (1) (11,13)、(41,43)。(71,73)・・・・
    (2) (17,19)、(107,109)、・・・・・
    (3) (29,31)、(59,61)・・・・・
     (1)の 11,41,71・・・・は
    ・an=11+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (1)の 13、43,73,・・・・は
    ・bn=13+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (2)の 17,107,・・・・は
    ・cn=17+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (2)の 19,109,・・・・は
    ・dn=19+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (3)の 29,59,・・・・は
    ・en=29+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (3)の 31,61,・・・・は
    ・fn=31+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
    数式を整理すると、
    ・an=10n+1
    ・bn=10n+3
    ・cn=10n+7
    ・dn=10n+9
    ・en=10n+19
    ・fn=10n+21
     ・ anが合成数の時  an=a1*b1
      素数の時  an=c1
     ・ bnが合成数の時  bn=a2*b2
      素数の時  bn=c2
    ∴ an*bn=c1*c2  の時、双子素数となる。
     ・ cnが合成数の時  cn=a3*b3
      素数の時  cn=c3
     ・ dnが合成数の時  dn=a4*b4
      素数の時  dn=c4
    ∴ cn*dn=c3*c4 の時、双子素数となる。
     ・ enが合成数の時  en=a5*b5
      素数の時  en=c5
     ・ fnが合成数の時  fn=a6*b6
      素数の時  fn=c6
    ∴ en*fn=c5*c6 の時、双子素数となる。
     今、ここで、(1)のパターンで
    ・ an*bn=(10k1+1)(10k1+3)≠c1*c2  の時,
     つまり、an*bn が三つ以上の素数の積だけ、と
     成って行く時の n=k1 があれば、双子素数が
     有限である、ということとなる。

  • このページは、No101の訂正後のもです。
    N0100の第一部と、このNo103の第二部が最新です。
    (第二部)
     今、ここで、(1)のパターンで
    ・ an*bn≠c1*c2  の時,
    つまり、an*bn が三つ以上の素数の積と
     成って行く時の n=k1 があれば、双子素数が
     有限である、ということとなる。
     そこで、
     ・(10k1+1)(10k1+3)≠c1*c2 となるk1
    を求めて行くこととする。
      しかし、an*bn が三つ以上の素数の積と
     成って行く時の n=k1 が発見されない。
     k1 の値を無限大に向かって大きくして行っても n=k1
    が発見出来ないのである。
       その答えは(2)のパターンにあるからだろう。
     と、(2)パターンについて考察してみる。
     ・(10k2+7)(10k2+9)≠c2*d2 となるk2
    を求めて行くこととする。
      しかし、cn*dn が三つ以上の素数の積と
     成って行く時の n=k2 が発見されない。
     k2 の値を無限大に向かって大きくして行っても n=k2
    が発見出来ないのである。
       そうか、その答えは(3)のパターンにあるからだろう。
     と、(3)パターンについて考察してみる。
     ・(10k3+19)(10k3+21)≠c3*d3 となるk3
    を求めて行くこととする。
      しかし、en*fn が三つ以上の素数の積と
     成って行く時の n=k3 が発見されない。
     k3 の値を無限大に向かって大きくして行っても n=k3
    が発見出来ないのである。
    以上の考察から、三つ全てのパターンで発見
    出来なかった。
     このことは、次のことを意味している。
    第一   k1,k2,k3, は有限ではない。無限である。
    第二   k1,k2,k3 は存在する。計算が足りないだけだ。
         k1,k2,k3,を求める計算を更に無限に続けるべきである。
     ところで、第一が正しいとしても、第二が正しいとしても、
     k1,k2,k3, は無限の存在であるということである。
    ∴双子素数は無限に存在する。
                          主張終了。

  • No101  の第二部 の文書中3箇所の表現を訂正すます。

    ・「 K1の値を無限大に大きくして行っても 」
     を つぎの通り訂正します。
     「 K1の値を無限大に向けて大きくして行っても 」 と訂正します。

    ・「 K2の値を無限大に大きくして行っても 」
     を つぎの通り訂正します。
     「 K2の値を無限大に向けて大きくして行っても 」 と訂正します。

    ・「 K3の値を無限大に大きくして行っても 」
     を つぎの通り訂正します。
     「 K3の値を無限大に向けて大きくして行っても 」 と訂正します。
                         (以上)

  • No 98 の訂正版です。
    (第二部)
     今、ここで、(1)のパターンで
    ・ an*bn≠c1*c2  の時,
    つまり、an*bn が三つ以上の素数の積と
     成って行く時の n=k1 があれば、双子素数が
     有限である、ということとなる。
     そこで、
     ・(10k1+1)(10k1+3)≠c1*c2 となるk1
    を求めて行くこととする。
      しかし、an*bn が三つ以上の素数の積と
     成って行く時の n=k1 が発見されない。
     k1 の値を無限大に大きくして行っても n=k1
    が発見出来ないのである。
       その答えは(2)のパターンにあるからだろう。
     と、(2)パターンについて考察してみる。
     ・(10k2+7)(10k2+9)≠c2*d2 となるk2
    を求めて行くこととする。
      しかし、cn*dn が三つ以上の素数の積と
     成って行く時の n=k2 が発見されない。
     k2 の値を無限大に大きくして行っても n=k2
    が発見出来ないのである。
       そうか、その答えは(3)のパターンにあるからだろう。
     と、(3)パターンについて考察してみる。
     ・(10k3+19)(10k3+21)≠c3*d3 となるk3
    を求めて行くこととする。
      しかし、en*fn が三つ以上の素数の積と
     成って行く時の n=k3 が発見されない。
     k3 の値を無限大に大きくして行っても n=k3
    が発見出来ないのである。
    以上の考察から、三つ全てのパターンで発見
    出来なかった。
     このことは、次のことを意味している。
    第一   k1,k2,k3, は有限ではない。無限だ。
    第二   k1,k2,k3 は存在する。計算が足りないだけだ。
         k1,k2,k3,を求める計算を無限に続けるべきである。
     ところで、この第一にしても第二にしても、
     k1,k2,k3, は無限の存在であるということ
    である。 無限の世界にあるということである。
    ∴双子素数は無限に存在する。
                          主張終了。

  • No 97 の訂正版です。
    双子素数が無限に存在することの初めての主張
    (第一部)~主張開始。
     10より大きい双子素数を並べると、次の3パターンとなる。
    (1) (11,13)、(41,43)。(71,73)・・・・
    (2) (17,19)、(107,109)、・・・・・
    (3) (29,31)、(59,61)・・・・・
     (1)の 11,41,71・・・・は
    ・an=11+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (1)の 13、43,73,・・・・は
    ・bn=13+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (2)の 17,107,・・・・は
    ・cn=17+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (2)の 19,109,・・・・は
    ・dn=19+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (3)の 29,59,・・・・は
    ・en=29+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (3)の 31,61,・・・・は
    ・fn=31+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
    数式を整理すると、
    ・an=10n+1
    ・bn=10n+3
    ・cn=10n+7
    ・dn=10n+9
    ・en=10n+19
    ・fn=10n+21
     ・ anが合成数の時  an=a1*b1
      素数の時  an=c1
     ・ bnが合成数の時  bn=a2*b2
      素数の時  bn=c2
    ∴ an*bn=c1*c2  の時、双子素数となる。
     ・ cnが合成数の時  cn=a3*b3
      素数の時  cn=c3
     ・ dnが合成数の時  dn=a4*b4
      素数の時  dn=c4
    ∴ cn*dn=c3*c4 の時、双子素数となる。
     ・ enが合成数の時  en=a5*b5
      素数の時  en=c5
     ・ fnが合成数の時  fn=a6*b6
      素数の時  fn=c6
    ∴ en*fn=c5*c6 の時、双子素数となる。

  • 訂正のお知らせ
    No 97 第一部 の終わりから上の行 10 行目
    を次の通り記号の訂正をします。
    ・cnが合成数の時 cn=a3*b3
    失礼しました。

  • (第二部)
     今、ここで、(1)のパターンで
    ・ an*bn≠c1*c2  の時,
    つまり、an*bn が三つ以上の素数の積と
     成って行く時の n=k1 があれば、双子素数が
     有限である、ということとなる。
     そこで、
     ・(10k1+1)(10k1+3)≠c1*c2 となるk1
    を求めて行くこととする。
      しかし、an*bn が三つ以上の素数の積と
     成って行く時の n=k1 が発見されない。
     k1 の値を無限大に大きくして行っても n=k1
    が発見出来ないのである。
       その答えは(2)のパターンにあるからだろう。
     と、(2)パターンについて考察してみる。
     ・(10k1+7)(10k1+9)≠c2*d2 となるk2
    を求めて行くこととする。
      しかし、cn*dn が三つ以上の素数の積と
     成って行く時の n=k2 が発見されない。
     k2 の値を無限大に大きくして行っても n=k2
    が発見出来ないのである。
       そうか、その答えは(3)のパターンにあるからだろう。
     と、(3)パターンについて考察してみる。
     ・(10k1+19)(10k1+21)≠c3*d3 となるk3
    を求めて行くこととする。
      しかし、en*fn が三つ以上の素数の積と
     成って行く時の n=k3 が発見されない。
     k3 の値を無限大に大きくして行っても n=k3
    が発見出来ないのである。
    以上の考察から、三つ全てのパターンで発見
    出来なかった。
     このことは、次のことを意味している。
    第一   k1,k2,k3, は有限ではない。無限だ。
    第二   k1,k2,k3 は存在する。計算が足りないだけだ。
         k1,k2,k3,を求める計算を無限に続けるべきである。
     この第一にしても第二にしても、
     k1,k2,k3, は無限の存在であるということ
    である。
    ∴双子素数は無限に存在する。
                          主張終了。

  • hap*****さん、ご意見を!!
    双子素数が無限に存在することの初めての主張
    (第一部)~主張開始。
     10より大きいより双子素数を並べると、次の3パターンとなる。
    (1) (11,13)、(41,43)。(71,73)・・・・
    (2) (17,19)、(107,109)、・・・・・
    (3) (29,31)、(59,61)・・・・・
     (1)の 11,41,71・・・・は
    ・an=11+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (1)の 13、43,73,・・・・は
    ・bn=13+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (2)の 17,107,・・・・は
    ・cn=17+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (2)の 19,109,・・・・は
    ・dn=19+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (3)の 29,59,・・・・は
    ・en=29+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
     (3)の 31,61,・・・・は
    ・fn=31+(n-1)10 の数列上に素数が存在する。
    数式を整理すると、
    ・an=10n+1
    ・bn=10n+3
    ・cn=10n+7
    ・dn=10n+9
    ・en=10n+19
    ・fn=10n+21
     ・ anが合成数の時  an=a1*b1
      素数の時  an=c1
     ・ bnが合成数の時  bn=a2*b2
      素数の時  bn=c2
    ∴ an*bn=c1*c2  の時、双子素数となる。
     ・ cnが合成数の時  dn=a3*b3
      素数の時  cn=c3
     ・ dnが合成数の時  dn=a4*b4
      素数の時  dn=c4
    ∴ cn*dn=c3*c4 の時、双子素数となる。
     ・ enが合成数の時  en=a5*b5
      素数の時  en=c5
     ・ fnが合成数の時  fn=a6*b6
      素数の時  fn=c6
    ∴ en*fn=c5*c6 の時、双子素数となる。


  • 素数を用いた色々な数

     素数の無限存在の証明として
     N=2*3*5*・・・*n+1
    という式をよく目にする。
     ところで、この2から n までの素数
    を用いた式でどんなものがあるだろうか。
    「素数が無限に存在することを示す新数式」
    というスレッドのNo1 で掲載していますが、
    ざっと、並べると次の通り、ほんの一部ですが。
    P1=3*5*7*・・・*n+2
    P2=3*5*7*・・・*n+4
    P3=3*5*7*・・・*n+8
    P4=3*5*7*・・・*n+16
     ここで、n をある素数の実数に置き換えて
    みるとより分かり易い。
    例として、n=19 とした場合
      Px=3*5*7*11*13*19+2=4849847
    ・一つ置きにした場合等
     Q1=3*7*13*19+5*11*17*2=7057
     Q2=3*5*7*11*2+13*17*19=6509
    Q3=3*5*7*2+11*13*17*19=46399
     当然、Px,Q1~Q3,は2から19まで
    のどの素数でも割り切れない数である。
     この例で示したとおり、2からnまでの素数を
    二つの項に振り分ける仕方で、2からnまでの
    どの素数でも割り切れない式を幾らでも作れる。
    ∴ n を最大の素数と仮定した場合、この2からn
    までのどの素数でも割り切れない数式を幾らでも
    作ることが出来るのです。
     つまり、PxとQ1~Q3に見る通り、Pxより遥かに
    小さい数でも、2から19までのどの素数でも割り切
    れない数式を作ることが出来るのです。
     上記のP1より遥かに小さい数の数式も作ることが
    出来る、ということです。
    分かっていただけると思います。


  • 素数が有限である、と仮定することの意義

     我々は、素数の無限存在を証明するため
     背理法として、
     「 素数が有限である、と仮定する。 」
    と仮定して理論展開をして来た。
     ところで、この仮定の意味するところについて、深く
    吟味してみたことがあるであろうか。
     素数が有限であると仮定すると、
    1 nまでの間にある偶数差素数全てが有限となる。 
    2 nから先の数については、すべて合成数となる。
    この上で、数式Pについて考察する。
    P=3*5*7*・・・*n+2
    ・P>n は明らかである。
    ∴ 上記2から P は合成数ではない。
    実際、この段階でP=a*b と表すことが出来ない。
    ∴ 素数は有限ではない。
      素数は無限に存在する。
     ところで
     相隣合う素数間において、その2数の差は偶数となり
     これを偶数差素数と呼んでいる。
     最小は 2差 最大は 2i 差 となる。
     だから、理論的には、双子素数(2差素数)だけが
     無限に存在すれば、素数が無限に存在する、となる。
      しかし、ある素数 k から先が双子素数だけとなる世界
     が果たして成立すのであろうか。
     (k-2)が素数でないという前提条件で、
     k+2、k+4、k+6、・・・が全て双子素数となるだろうか。
     答えは、否 である。
     いやいや、途中に合成奇数があるのだ、と弁明するかもしれない。
     たとえば、k+4は合成奇数だと。
     すると、(k+6)-(k+2)=4 つまり、4差素数、となり、
     これは、双子素数だけ、と言う仮定に反する。
     だから、途中に合成奇数が入り込む余地がないのである。
      いやいや、双子素数と4差素数だけが無限に存在すれば、素数は無限
     に存在するのだ、と更に反論するかも知れない。
      しかし、一つ増やしても、二つ増やしても、三つ増やしても、・・・
     同じことである。
      全ての偶数差素数が無限に存在して、素数の無限存在が保証
     されるのであって、一つでも欠けたら、素数の無限存在は成立しない
     のである。
     偶数差素数というのは、無限に存在する素数の要素となる2素数間
     の差のことであるから、当然である。
    我々は、 背理法でいう仮定に対して、上記 1 から 4 の
    吟味が足りなかったのである。反省事項である。

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