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  • 皆様,今日は。♪
    微分可能の問題の勉強で困っています。(^_^;)

    [定義] A,Bをn×n正値エルミート行列,rを0<r≦1なる実数とする時,
    A^r:=U^*diag(λ_1^r,λ_2^r,…,λ_n^r)U (但し,Uはユニタリ行列,λ_1,λ_2,…,λ_nはAの固有値)と定義します(指数行列の定義)。

    その時, 行列式|A+xB|^rはx=0(xは実変数)で微分可能となることが分かりません。

    A+xBはエルミート行列でx=0の時,A+xBは正値エルミートとなります。
    先ず,A+xB=U^*diag(λ_1,λ_2,…,λ_n)Uと対角化されたとします。

    (A+xB)^r=U^*diag(λ_1,λ_2,…,λ_n)U

    A+xB=U^*diag(λ_1^r,λ_2^r,…,λ_n^r)U

    と言えますよね。でもこれらλ_1,λ_2,…,λ_nやUはxに依存してるから,

    A+xB=U(x)^*diag(λ_1(x)^r,λ_2(x)^r,…,λ_n(x)^r)U(x)

    と書いた方がベターかもしれません。

    よって,その行列式は

    |A+xB|=|U(x)^*diag(λ_1(x)^r,λ_2(x)^r,…,λ_n(x)^r)U(x)|
    =|U(x)^*||diag(λ_1(x)^r,λ_2(x)^r,…,λ_n(x)^r)||U(x)|
    =λ_1(x)^rλ_2(x)^r…λ_n(x)^r

    と求まりますが,ここからがどうやって,x=0で
    λ_1(x)^rλ_2(x)^r…λ_n(x)^rが微分可能である事が言えますでしょうか?

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