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投稿コメント一覧 (235コメント)

  • 書いてる間に自分の中で陳腐化してきたので、削除しました。

  • >>No. 142

    このアルゴリズムを振り返ってみると、ヤコビ記号(m/n)の計算において、相互法則を使って、互いに素な奇数のペア(m,n)を次々に、より小さい奇数のペアに帰着させていくアルゴリズムも「ほぼ同じ」プロセスとして理解されることに気づく。(符号の変化や"2"の扱いの問題はあるが。)

    より高度な数学としては「久保田の準同型写像」の発見がメタプレクティック理論の嚆矢となるのだが、そのヒントは、こんな原初的な風景の中にもあったわけだ。

  • >>No. 140

    ユークリッドの互除法とは、正整数のペア(a,b)に対して

    Ⅰ. a > b のときは、(a-b, b) をあらたに(a,b) とおく。

    Ⅱ. a < b のときは、(a, b-a) をあらたに(a,b) とおく。

    Ⅲ. a=b のときは停止する。

    というアルゴリズムを実行すると、停止した段階のa=b=d が最大公約数であるというもの。

    (a,b)を縦行列にしたものを(a,b)^T であらわし
    1 1
    0 1

    1 0
    1 1

    をそれぞれ、T_1, T_2 とおく。(この2元はPSL(2.Z)を生成する。)
    Ⅰ. Ⅱ. は(a,b)^T の左側からそれぞれ

    T_1^(-1) または T_2^(-1)

    をかけることに等しい。すなわち、モジュラー群の演算として理解される。
    互除法のアルゴリズムを逆に辿ることにより、たとえば (1,1)^Tの左側から
    T_1, T_2 をかけることにより、任意の互いに素な正整数のペア(a,b)^T に至る道のりが得られる。

  • >>No. 139

    「上半空間」とは「複素上半平面」の3次元の類似物で、四元数体において
    1とiの係数は任意実数、jの係数は正実数、kの係数は0
    すなわち

    P=z+rj, (z∈C, r>0 )

    の全体のなす空間。PSL(2,C)の元
    a b
    c d
    が、(aP+b)/(cP+d)^(-1)
    と作用する。インバースは四元数体での乗法逆元とする。

    PSL(2,C)の不連続部分群で、「PSL(2,R)に対するモジュラー群PSL(2,Z)」に相当するものとして
    Oを虚2次体の整数環として、PSL(2,O)が考えられる。

    とすると、虚2次体の整数論は、意外に物理に近いところにあるのかもしれない。

  • 数論という観点から見てみよう。
    モジュラー群 PSL(2,Z)の元は
    a b
    c d
    という2×2行列によってあらわされる。ここで、a,b,c,d は整数であり、ad-bc=1 という関係式をみたすものとする。
    この行列は、複素数z∈C に対して
    (az+b)/(cz+d) の形で作用する。特に∞と0は、それぞれ a/c, b/d という既約分数(有理数)に移る。これらは「尖点」と呼ばれている。
    すべての既約分数は、尖点としてあらわれることが分かる。
    (a,c)=(b,d)=(a,b)=(c,d)=1 (互いに素)という関係がある。
    逆に、すべての互いに素な整数のペアは、このようにしてモジュラー群の中にあらわれる。

    つまり、モジュラー群は、互いに素な整数のペアをすべて「知っている」。

    「互いに素」から「素数」についての情報を取り出すことはまた別であるにしても、関連があることは間違いない。

  • ローレンツ不変性は物理(場の量子論)において、基本的な統制原理である。
    http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~soken.editorial/sokendenshi/vol4/Nakanishi.pdf

    制限ローレンツ群 SO+(1, 3) は射影線型群 PSL(2, C) と同型。
    https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E7%BE%A4
    そして、PSL(2, C) は、複素上半空間に作用し、「上半空間モデル」を通して3次元双曲空間の合同変換群と見做せる。
    これらのことから「3次元双曲空間は物理において基本的」であることが分かる。

    ユークリッドと非ユークリッド(双曲)は、表面的には平行線が1本引けるか2本以上引けるかの違いのようだが、群の作用を考えたとき大きな違いがある。そして、合同変換群がより興味深いのは双曲空間だと思う。これが非ユークリッド(双曲)幾何の重要性である。

  • >>No. 137

    べき剰余相互法則が、「格子点の並び方」のようなまったく初等的なことだけから証明されるとして
    それを超えるものはないのだろうか? たとえば「虚数乗法」などは、無用の長物に過ぎないのだろうか?
    べき剰余相互法則を超えるものとして、「デデキント和(またはそれに類する和)の相互法則」は考えられる。そして、それは双曲空間とも結びついている。
    個人的には注目の対象である。

  • 久保田富雄氏が雑誌『数学』に書かれた論説「空間図形の性質による類体論の基礎付け」によると、高次べき剰余相互法則は、空間内における格子点の並び方だけから、全く初等的に証明されるのだという。
    ただし、アルティンの相互法則を完全に一般的な場合に証明するためには、プラスアルファ(あるタイプの2次形式についてのHasseの原理)が必要なのだという。
    そして、アルティンの相互法則さえ認めれば、類体論の諸定理はすべてがすらすらと素直に導かれてしまうという。(氏は類体論のエキスパートでもある。)
    であるとすれば、類体論は必ずしも必要ないということになるかもしれないが、なぜか論文は「類体論の別証明」のような名目となっている。(数学者のコミュニティでの理解に対する配慮があったかもしれない。)
    なので、意図が分かりにくくなっている気がするが、孤高の内容である。

  • わたしは双曲空間の離散構造に興味がある。そこから物理でも使えるような何かを取り出すことはできないだろうか?

    ガウス文書(1805年)の中に不思議な図が残されていたが、50年後にガウス全集を編纂した数学者にも何のことか分からず、さらに数十年経ってから、それがモジュラー群Γのレベル2の主合同部分群Γ(2)の基本領域の図であることが分かった。実に90年も学界に先駆けた研究を行っていたのだという。

    この図は、上半平面モデルにおける双曲四辺形に他ならない。(ただし、ガウスがそのことに気づいていたかは不明。)

  • >>No. 134

    非ユークリッド幾何の本を書いてみられては。
    あまりいい本が出ていないような気がするので。

  • >>No. 130

    動画とは
    「掛け算と論理和を使用して素数の出現パターンを計算しよう!」
    でしょうか? 見てみましたが、既約剰余類を利用しているようですね。

    たとえば、2×3=6 を法として既約剰余類は、1,5。つまり、任意の自然数nを6で割った余りが1または5であることが、nが2でも3でも割れない必要十分条件となる。
    さらに、5を考慮することで、2×3×5=30を法とする既約剰余類の表が得られる。この既約剰余類に属し、かつ5と25の間にある数は確かに素数であると言える。
    次に7を考慮に加え、...として、次々に素数が得られる。

    この方法の難点は、素数階乗が急速に増大することですね。p以下の素数をすべて掛け合わせたものをp#とあらわして素数階乗と言うわけですが、p#したがってその既約剰余類のパターンの周期は急速に増大する。一方で、素数であることが言えるのは、p^2以下程度に限られる...
    となって、どんどん効率が悪くなっていくのではないでしょうか。(動画の作者は小さなpで止めてしまっています。)

    それなら普通にエラトステネスの篩を使えばいいし、包除原理を使ってエラトステネスの篩を数式で表現することもできる(ルジャンドルの篩)。
    そんなことは百も知られているわけですね。

  • >>No. 130

    まぁ、あまり見る気もしませんが、そもそも「パターンを探そう」というのは安直にすぎるように思います。
    仮にそういうパターンがあるなら、とっくに誰かが見つけているか、すでに知られていることでしょう。

    素数の出現パターンが正確に分かれば、リーマン予想もとっくに解かれているはずですが、そうではない。
    しかし、たとえば次のようなことは言える。4N+1の形の素数と4N+3の形の素数は約半数ずつ現れる。→ディリクレの算術級数定理

    「パターンを探そう」というのは素人が最も陥りやすい考えで、たとえば「競馬の勝ち馬番号にパターンがあるんだ」と言い張るひとや、「ロト6の当選数字のパターン」を探そうとするひとなど、世の中には結構いますが、数学的感覚があれば一蹴されるであろうそれらの考えを信じるひとがいるのが不思議でならない。

    数学でもパターンを見つけるというのは重要であったりしますが、だからと言って何にでもパターンがあると思うのは錯覚にすぎない。
    それが「ランダム」という考えですが、ランダムよりもパターンがあるという方が、人間の好きな考えなのかもしれません。

  • >>No. 126

    投資銀行が使っているアルゴリズムの内容はどうなっているか? というのはわたしも興味があります。

    ダニエル・カーネマンの本『ファスト&スロー』の邦訳上巻に書いてありますが、カーネマンが統計的手法でファンドマネージャーの運用成績を調べたところ、「投資スキル」というものは「存在しない」。

    一方で、個人投資家は市場平均を下回っている。その分は、プロのトレーダーにやられた分と思われる。

    カーネマンの本には、人間は感情が入る分、様々な場面でアルゴリズムを決めてそれに従った方がいいということも書いてあります。

    個人的には、投資銀行が使っているアルゴリズムは、相場操縦を合法的に行うような内容も含まれているのでは? と疑っています^^

  • >>No. 126

    ユーレカの方程式とは? 検索してみたところ、Eテレ「ロボットはどこまで進化するのか?」番組中の内容ですかね。
    人工知能にパターンを見つけさせるような話ですかね。確かにAIが得意そうではあります。
    一方、ランダムウォークのように、パターンを見つけることは無意味(しかし人間はいかにもパターンがありそうに感じてしまう)のを、AIがどう判断するのか興味のあるところです。
    今のところ、大まかなパターンの枠組みは人間が考えて与えてやる必要がありそうな気がします。

    >素人なんで、へんなコメントすみません。どうぞお手柔らかにお願いいたします。

    わたしも含めて、ここに来るひとは大半が素人だと思いますよ^^
    仮に玄人だとしても、大して意味はないし。

  • カーネマンの本で「ストーリーは後付けの理屈に過ぎない」ということが説明されているところが成る程と思った。

    しかしたとえばリーマン予想については、ストーリーがすでに相当できてるように思う。
    幾何学との類似を探求するというのが一つの流れになっていると思う。
    具体的には、数論幾何、数論トポロジー、非可換幾何などの分野がある。
    どれも非常に高度で、博学であればあるほど、類似を探求できる。
    すでにそれらの分野に通じているひとには楽しいかもしれないが、新たに勉強するひとには苦痛かもしれない。
    しかしそもそも、どこまでも類似を探求するという数学は、やってて楽しいことだろうか? 創造としてはどうなのか?

    「未来は予測できない」という教訓に従えば

    1.近い将来(100年以内くらい)にその方向で解かれる。
    2.実は全く見当違いで、全く別の方向で解かれる。
    3.近い将来には、全く解かれていない。

    などは、どれも可能性があって、予断を許さないと言える。
    自分の先生は、3.のような考えだった思う。

  • >>No. 122

    映画『容疑者Xの献身』の数学指導をされていたと思う。石神が徹夜で「リーマン予想を否定する論文」の誤りを見つけるシーンがあるが、これは原作にはない部分だと思う。この設定には「おっ」と思う奇妙さがある。世の中に多いのは「リーマン予想を証明したと主張する論文」だろう。しかし、「リーマン予想を証明しようとするひと」とは先生にとっては同志のようなもの。それを否定するのは忍びない。そこで、上記のような設定になったのだと思う...

    どうでもいいが、会話に使える小ネタ。

  • 一応言っておくと、黒川信重先生はどちらかというと好きな先生である。
    しょっちゅう「リーマン予想が~」みたいに言ってることと、なんでもゼータ函数が万能だと思ってることと、少し濫作が目立つことを除けば。
    なお直接お会いしたことはない。

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